円分体における不分岐な有理素数の分解：環の同型対応によるアプローチ

証明：

Step 1: 剰余環の自然な同型対応

円分体の整数環 $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\zeta_n]$ は、多項式環の剰余環 $\mathbb{Z}[x]/(\Phi_n(x))$ と同型である。イデアル $(p)$ による剰余環 $\mathcal{O}_K / (p)$ を考えると、準同型定理により以下の自然な同型関係の連鎖が得られる。

$$ \mathcal{O}_K / (p) \cong \mathbb{Z}[\zeta_n] / (p) \cong \mathbb{Z}[x] / (\Phi_n(x), p) \cong \mathbb{F}_p[x] / (\overline{\Phi}_n(x)) $$

ここで $\overline{\Phi}_n(x)$ は $\Phi_n(x)$ を法 $p$ で還元した有限体 $\mathbb{F}_p$ 上の多項式である。この美しい同型関係により、左辺の「イデアルの構造」が、右辺の「有限体上の多項式の分解」に完全に翻訳される。

Step 2: 中国剰余定理 (Chinese remainder theorem) による直和分解

仮定より $p \nmid n$ であるため、多項式 $x^n - 1$ の導関数 $n x^{n-1}$ は $\mathbb{F}_p$ 上で恒等的に $0$ ではなく、$x^n - 1$ と共通根を持たない。ゆえにその約数である $\overline{\Phi}_n(x)$ も $\mathbb{F}_p$ 上で重根を持たず、相異なる既約多項式の積に一意に分解される。

$$ \overline{\Phi}_n(x) = \overline{P}_1(x) \overline{P}_2(x) \cdots \overline{P}_g(x) $$

ここで、環に対する中国剰余定理 (Chinese remainder theorem) を右辺 $\mathbb{F}_p[x] / (\overline{\Phi}_n(x))$ に適用すると、互いに素なイデアルによる剰余環の直和に分解される。

$$ \mathbb{F}_p[x] / (\overline{\Phi}_n(x)) \cong \bigoplus_{i=1}^g \mathbb{F}_p[x] / (\overline{P}_i(x)) $$

各 $\overline{P}_i(x)$ は既約多項式であるため、それぞれの直和成分 $\mathbb{F}_p[x] / (\overline{P}_i(x))$ は有限体となる。

Step 3: 素イデアル分解の決定

一方、Dedekind整域 $\mathcal{O}_K$ において、イデアル $(p)$ が素イデアルの積 $(p) = \mathfrak{p}_1^{e_1} \cdots \mathfrak{p}_k^{e_k}$ に分解されたとする。同様に中国剰余定理を左辺 $\mathcal{O}_K / (p)$ に適用すると、

$$ \mathcal{O}_K / (p) \cong \bigoplus_{j=1}^k \mathcal{O}_K / \mathfrak{p}_j^{e_j} $$

となる。Step 1 で示した同型により、この2つの直和分解は環として完全に一致しなければならない。右辺が「体の直和」であることから、左辺の各成分も体でなければならず、すべての分岐指数は $e_j = 1$ となる（無分岐 (unramified)）。さらに、直和成分の個数も一致するため $k = g$ である。

対応関係から、各素イデアル $\mathfrak{p}_i$ の剰余体 $\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}_i$ は、$\mathbb{F}_p[x] / (\overline{P}_i(x))$ と同型になる。これにより、素イデアル $\mathfrak{p}_i$ は多項式 $P_i(x)$ を用いて $\mathfrak{p}_i = (p, P_i(\zeta_n))$ と表され、その相対次数 $f_i = [\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}_i : \mathbb{F}_p]$ は、まさに既約多項式 $\overline{P}_i(x)$ の次数に等しいことがわかる。

Step 4: 既約多項式の次数と位数の関係

最後に、各 $\overline{P}_i(x)$ の次数が $f$ になることを示す。$\overline{P}_i(x)$ の根を $\alpha$ とし、その次数を $d$ とすると、$\alpha$ は $\mathbb{F}_p$ の $d$ 次拡大体 $\mathbb{F}_{p^d}$ を生成する。$\alpha$ は $\overline{\Phi}_n(x)$ の根でもあるため、$\mathbb{F}_{p^d}$ において1の原始 $n$ 乗根として振る舞い、その乗法群における位数は $n$ である。

有限体 $\mathbb{F}_{p^d}$ の乗法群の位数は $p^d - 1$ であるから、Lagrangeの定理より $n \mid (p^d - 1)$、すなわち $p^d \equiv 1 \pmod n$ が成り立つ。$\alpha$ がより小さな部分体に属さないため、$d$ はこの合同式を満たす最小の正の整数、すなわち群 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ における $p$ の位数 $f$ と完全に一致する。

したがって、すべての既約多項式の次数（および素イデアルの相対次数）は $f$ であり、全体の次数が $\varphi(n)$ であることから、その個数は $g = \varphi(n)/f$ となる。(証明終)